수학의 정석

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[차현우] 실력편 수학 II (2018) - 방정식·부등식과 미분
연습7-16

강의에서 f(x) 그래프의 개형을 그리실 때 극대값이 2보다 작다는 것을 전제하에 부등식은 y=kx제곱 + 2 에서 k>0일때 항상 성립이라 하셨는데 극대값 없이 그래프 개형을 어떻게 유추할 수 있을까요?

그래프의 개형은 대략적으로 알 수 있을거라 생각합니다. 정확하게는 극댓값을 계산해서 확인하는 과정을 거치는 것이 더 좋을것 같습니다. 다만 수학II의 삼차함수는 그래프 전체를 대부분 통째로 외우고 문제를 해결하게 됩니다. 1:1:1:1의 성질에서 최고차항의 계수가 1인 삼차함수는 극댓값과 극솟값의 차이가 4입니다. (자주 나오는것이니 외워두세요) 예를 들어 f(x)=x^2(x-3) 의 그래프는 x=0에서 극대, x=2에서 극소 변곡점은 x=1 과 같이 1 간격입니다. 이 경우 극댓값은 f(0)=0, 극솟값은 f(2)=-4로 둘의 차이가 4입니다. 이 문제의 함수는 이보다 폭이 좁기 때문에 극대 극소의차가 4보다 작답니다.

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