| [차현우] 실력편 미적분 (2018) - 극대·극소와 미분 |
| 연습문제 9-29 |
안녕하세요 선생님? 저번에 문제 풀이해주신지 얼마 되지도 않았는데, 벌써 다시 질문드리네요.. 29번에서 주어진 조건 중 f’(x)= 1-{f(x)}^2이라는 조건이 있는데, f(x)를 n차식, f’(x)를 n-1차식으로 보면 n=-1이 나와서 반비례 그래프가 되는데, 그럼 (0,0)을 지나지 못하게 되어서요. 학교 수학 선생님에게 물어보았더니 f(x)가 다항함수가 아닌 초월함수일 수도 있으니 그렇다고 대답해주셨는데요, 그렇다면 f(x)는 -1부터 1 사이에서만 값을 갖는, 증가함수면서 초월함수인 함수인건가요? 이게 마음에 턱 걸려서 공부도 잘 안되고, 혼자 생각해보자니 확실하지도 않아서 질문드립니다.. |
1. 미적분의 대부분 문제는 다항함수가 아니라 초월함수입니다.
따라서 수2의 논리가 통하지 않습니다.
2. f' = 1- f^2 이라는 식은 미분방정식입니다.
미분방정식은 풀 수 있고 이를 통해 f(x)를 구할 수 있습니다. 푸는 방법은
양변을 1-f^2으로 나눈후 부분분수로 쪼개고 이를 적분하면 되는데 고등학교과정에서는 굳이 다루지 않습니다.
간단히 보여주면
f '/(1-f)(1+f)=1
f ' /(f-1) - f ' /(f+1) =-2
이 식을 양변을 적분하면
ln(f-1) - ln(f+1) = -2x
이를 적당히 정리하면 f(x)는 e^-2x가 포함된 분수식이 나오게 됩니다.
따라서 차수를 이용한 접근은 잘못된 것이랍니다. |
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