다음은 모두 동치 관계인가요?

1. 다항함수 y=f(x)에 대하여 f(x)=0이 x=k를 이중근으로 갖는다.
2. f(x)는 (x-k)^2를 인수로 가진다.
3. f(k)=0, f'(k)=0 이다.
4. x=k 에서 x축에 접한다.

만약 위 4가지가 모두 동치라면 저들 중 하나만 있어도 'x=k 에서 극값으로 0을 가진다.'라고 말해도 되나요? 사실 삼차함수를 예로 들면 x=k에서 x축에 접하는 건 극점 뿐만 아니라 변곡점도 가능하기 때문에, 'x=k 에서 극값으로 0을 가진다.'가 성립하기 위해서는 'x=k에서 변곡점을 가지지 않는다.'라는 조건이 선행되어야 한다고 생각했습니다. 근데 답안지에서는 'x=2가 이중근이라는 것'에서 곧바로 'x=2에서 극값 0을 가지는 것'으로 넘어가더군요. x=2에서 변곡점인지 아닌지부터 확인해야 하는 것 아닌가요? 혹시 변곡점이기 위해서는 x=2가 삼중근이어야 하나요?

제가 쓴 글에서 드러나는 오개념에 대해 모두 지적해주셔요. 감사합니다@!!